Para completar o quadrado é necessário recordar qual é o aspecto de um trinómio quadrático perfeito.

x + (2a)x + a = 0


Nesta equação:

• 

O coeficiente do primeiro termo deve ser 1 [reparar que x = 1x, cujo coeficiente é 1. Elemento neutro].

•  O último termo (que é independente) é um quadrado. [reparar que a é um quadrado].
•  O coeficiente do termo do meio é o dobro da raíz quadrada do último termo. [reparar que raiz de a = a; e o seu dobro = 2a]

 

Desta forma aquela equação pode ser reescrita como um produto das suas raízes:

x + 2ax + a = 0 Û (x + a) = 0 Û (x + a)(x + a) = 0 Û x = —a (neste caso há uma raiz dupla)

 

 

Exemplos:


A. x + 8x + 16 = 0

• 

O coeficiente do primeiro termo é 1.

•  O último termo é o quadrado perfeito de 4. [reparar que 16 = 4]
•  O coeficiente do termo do meio é o dobro da raíz quadrada do último termo.

 

Então x + 8x + 16 = 0 Û (x+4) = 0 Û x=—4 (neste caso há uma raiz dupla)



B.
x — 8x + 16 = 0

• 

O coeficiente do primeiro termo é 1.

•  O último termo é o quadrado perfeito de 4.
•  O coeficiente do termo do meio é o dobro da raíz quadrada do último termo.

 

Então x — 8x + 16 = 0 Û (x—4) = 0 Û x=4 (raiz dupla)

 

 

C. x — 11x + 24 = 0



a equação tem duas raízes, zeros ou soluções: x1 = 8 ou x2 = 3

 

 

 

 

 

D. Resolução de equação quadrática através do método de Completar o Quadrado:

 

2x² — 12x + 8 = 0

Tornar o coeficiente do termo x² igual a 1, multiplicando ambos os termos da equação por 1/2:

x² — 6x + 4 = 0

Mover o termo independente (constante) para o membro direito:

x² — 6x = —4

Adicionar o quadrado da metade do coeficiente do termo em x a ambos os membros:

x² — 6x + (6/2)2 = —4 + (6/2)2

Reescrever o membro esquerdo como quadrado de soma:

(x — 3)² = —4 + 9

Extrair a raiz quadrada a ambos os membros.

x — 3 = (5)'

Adicionar a ambos os membros o simétrico de —3:

x = 3 (5)'

 

 

E. O exemplo seguinte pretende mostrar a utilidade do método de "completar o quadrado"

Petende-se encontrar o centro e o raio da esfera cuja equação é: 2x² + 2y² + 2z² + 2x — 2y — 4z + 1 0

 

Objectivo: transformar a equação anterior na equação da esfera: (x — xo)² + (y — yo)² + (z — zo r² que é
a fórmula da distância [aplicação do Teorema de Pitágoras] em espaço tridimensional [³].

 

  2x² + 2y² + 2z² + 2x — 2y — 4z + 1 0 A equação dada
Û  2(x² + y² + z² + x — y — 2z) —1 Adição de —1 a ambos os membros e factorização
Û x² + y² + z² + x — y — 2z —1/2 Multiplicação de ambos os membros por 1/2
Û  (x² + x) + (y² — y) + (z² — 2z) —1/2 Associatividade
Û (x² + x + 1/4) —1/4 + (y² — y + 1/4) —1/4 + (z² — 2z + 1) — 1 —1/2 Método algébrico de completar o quadrado
Û (x + 1/2)² —1/2 + (y — 1/2)² + (z — 1)² — 1 —1/2 Reescrita da equação com quadrados de diferenças
Û (x + 1/2)² + (y — 1/2)² + (z — 1)² Adição de —1 + 1/2 a ambos os membros

 

De acordo com a fórmula da distância, as coordenadas do centro da esfera são:

xo = —1/2, yo = 1/2, zo = 1 e o raio, r = 1.