A fórmula resolvente de uma equação de grau dois é obtida basicamente em dois passos:

1.º

Transformação dos termos em x num quadrado de uma soma; e
2.º Conversão da equação de grau dois numa diferença de quadrados (tendo transformado os termos independentes num quadrado). A equação é finalmente reescrita como produto de dois factores de grau um.

 

Para que a equação tenha grau dois o coeficiente de x2 não pode ser nulo.

Dividiram-se ambos os membros da equação pelo coeficiente a.

Completou-se o quadrado da soma para os termos em x, introduzindo o quadrado da metade do coeficiente de x e o seu simétrico.

Reescreveu-se o quadrado da soma e tornaram-se os termos independentes em fracções equivalentes com denominador comum.

Agregaram-se os termos independentes.

Transformou-se a equação numa diferença de quadrados: o termo independente é quadrado da sua raiz quadrada.

Transformou-se a diferença de quadrados em dois factores de grau um.

Um produto é nulo quando pelo menos um dos factores é nulo.

As raízes, 'zeros' ou soluções da equação de grau dois são x1 e x2, que podem ser reais ou complexas, iguais ou distintas.

FÓRMULA RESOLVENTE DE EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU

 


x + (2a)x + a = 0


Nesta equação:
• O coeficiente do primeiro termo deve ser 1 [reparar que x = 1x, cujo coeficiente é 1. Elemento neutro].
• O último termo (que é independente) é um quadrado. [reparar que a é um quadrado].
• O coeficiente do termo do meio é o dobro da raíz quadrada do último termo. [reparar que raiz de a = a; e o seu dobro = 2a]


Desta forma aquela equação pode ser reescrita como um produto das suas raízes:

x + 2ax + a = 0 Û (x + a) = 0 Û (x + a)(x + a) = 0 Û x = —a (neste caso há uma raiz dupla)

 

 

Exemplos:


A. x + 8x + 16 = 0


Nesta equação:

• O coeficiente do primeiro termo é 1.
• O último termo é o quadrado perfeito de 4. [reparar que 16 = 4]
• O coeficiente do termo do meio é o dobro da raíz quadrada do último termo (2xR16 = 2x4=8).

Então x + 8x + 16 = 0 Û (x+4) = 0 Û x=—4 (neste caso há uma raiz dupla)



B.
x — 8x + 16 = 0

Nesta equação:


Então x — 8x + 16 = 0 Û (x—4) = 0 Û x=4 (raiz dupla)

 

 

C. x — 11x + 24 = 0



a equação tem duas raízes, zeros ou soluções: x1 = 8 e x2 = 3

 

 

 

 

 

 

2x2 — 12x + 8 = 0

Tornar o coeficiente do primeiro termo igual a 1, dividir ambos os termos da equação por 2:

x2 — 6x + 4 = 0

Mover o termo independente (constante) para o membro direito:

x2 — 6x = —4

Adicionar o quadrado da metade do coeficiente de x a ambos os membros:

x2 — 6x + (6/2)2 = —4 + (6/2)2

Reescrever o membro esquerdo como quadrado de soma:

(x — 3)2 = —4 + 9

Extrair a raiz quadrada a ambos os membros.

x — 3 = (5)'

Adicionar a ambos os membros o simétrico de —3:

x = 3 (—4 + 9)'